Упр.34.41 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

Тело малых размеров соскальзывает без трения с горки высотой $$H$$ по склону, заканчивающемуся горизонтальным трамплином высотой $$h$$ над поверхностью земли. Докажите, что дальность полёта тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки. Чему равна дальность полёта при этом условии?

При движении без трения сохраняется механическая энергия:

$$mgH=mgh+\frac{mv^2}{2}$$

Отсюда скорость тела на горизонтальном трамплине:

$$v=\sqrt{2g(H-h)}$$

Время падения с высоты $$h$$:

$$h=\frac{gt^2}{2}, \qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Дальность полёта:

$$l=vt=\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h(H-h)}$$

Найдём, при каком $$h$$ эта величина максимальна. Рассмотрим квадрат дальности:

$$l^2=4h(H-h)=4(Hh-h^2)$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$\frac{d}{dh}\bigl(h(H-h)\bigr)=H-2h=0$$

откуда

$$h=\frac{H}{2}$$

Тогда максимальная дальность:

$$l_{\max}=2\sqrt{\frac{H}{2}\left(H-\frac{H}{2}\right)}=2\sqrt{\frac{H^2}{4}}=H$$

Ответ: дальность полёта максимальна при $$h=\frac{H}{2}$$, при этом $$l_{\max}=H$$.