Упр.19.15 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

1. Два небольших тела одинаковой массы, жёстко соединённые прямым стержнем, вращаются вокруг оси $$O$$, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню. Ось вращения неподвижна. Сделайте рисунок и докажите, что сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось $$X$$, лежащую в плоскости вращения, равна нулю. Проверьте, будет ли справедливо это утверждение, если массы тел различны; ось вращения $$O$$ пересекает стержень в другой точке.

Пусть ось вращения проходит через центр масс системы и перпендикулярна стержню. Тогда тела движутся по окружностям с одинаковой угловой скоростью $$\omega$$, а их импульсы направлены по касательным к траекториям.

Обозначим модули импульсов тел через $$p_1$$ и $$p_2$$. Если массы тел одинаковы, то при одинаковых линейных скоростях модули импульсов равны:

$$p_1=p_2=p.$$

Пусть вектор $$\vec p_1$$ образует с осью $$Ox$$ угол $$\alpha$$, тогда вектор $$\vec p_2$$ образует с этой осью угол $$180^\circ-\alpha$$. Проекции импульсов на ось $$Ox$$ равны:

$$p_{1x}=p\cos\alpha,$$

$$p_{2x}=p\cos(180^\circ-\alpha)=-p\cos\alpha.$$

Следовательно, сумма проекций равна

$$p_{1x}+p_{2x}=p\cos\alpha-p\cos\alpha=0.$$

Значит, для двух одинаковых тел сумма проекций их импульсов на любую ось, лежащую в плоскости вращения, равна нулю.

Если массы тел различны, но ось вращения проходит через центр масс системы, то условие остаётся справедливым. Действительно, при вращении вокруг центра масс выполняется

$$m_1r_1=m_2r_2,$$

а линейные скорости связаны соотношением

$$v_1=\omega r_1,\qquad v_2=\omega r_2.$$

Тогда

$$p_1=m_1v_1=m_1\omega r_1,\qquad p_2=m_2v_2=m_2\omega r_2,$$

и из условия $$m_1r_1=m_2r_2$$ получаем $$p_1=p_2$$. Поэтому проекции импульсов на любую ось в плоскости вращения снова взаимно компенсируются.

Если же ось вращения пересекает стержень не в центре масс, то равенство проекций вообще говоря не выполняется: расстояния до оси различны, скорости тел различны, и модули импульсов уже не обязаны быть равными. Тогда сумма проекций может быть отличной от нуля.

Ответ: да; нет.