Упр.34.41 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Лукашик, Иванова 8 класс, Просвещение: Тело малых размеров соскальзывает без трения с горки высотой Н по склону, заканчивающемуся горизонтальным трамплином высотой h над поверхностью земли. Докажите, что дальность полёта тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки. Чему равна дальность полёта при этом условии?

Дано

$$h_1=H$$

$$h_2=h$$

Найти: $$l_{\max}$$.

Ход решения

По закону сохранения энергии для тела, соскальзывающего без трения:

$$m g H = m g h + \frac{m v^2}{2}$$

Отсюда скорость тела на трамплине:

$$v=\sqrt{2g(H-h)}$$

Время падения с высоты $$h$$:

$$h=\frac{g t^2}{2}, \qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Дальность полёта:

$$l=vt=\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h(H-h)}$$

Найдём, при каком $$h$$ дальность максимальна:

$$l^2=4h(H-h)=4(Hh-h^2)$$

Это выражение максимально при

$$\frac{d}{dh}\bigl(h(H-h)\bigr)=H-2h=0$$

следовательно,

$$h=\frac{H}{2}$$

Тогда максимальная дальность:

$$l_{\max}=2\sqrt{\frac{H}{2}\left(H-\frac{H}{2}\right)}=2\sqrt{\frac{H^2}{4}}=H$$

Ответ

Дальность полёта максимальна при $$h=\frac{H}{2}$$, и она равна $$l_{\max}=H$$.