Упр.34.41 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

Тело малых размеров соскальзывает без трения с горки высотой $$H$$ по склону, заканчивающемуся горизонтальным трамплином высотой $$h$$ над поверхностью земли. Докажите, что дальность полёта тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки. Чему равна дальность полёта при этом условии?

Пусть тело соскальзывает с горки без трения. Тогда по закону сохранения энергии на краю трамплина:

$$m g H = m g h + \frac{m v^2}{2}$$

откуда

$$v=\sqrt{2g(H-h)}.$$

С трамплина тело падает с высоты $$h$$, значит время полёта

$$h=\frac{g t^2}{2}, \qquad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.$$

Дальность полёта:

$$l=vt=\sqrt{2g(H-h)}\cdot \sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h(H-h)}.$$

Найдём, при каком $$h$$ дальность максимальна. Рассмотрим квадрат дальности:

$$l^2=4h(H-h)=4(Hh-h^2).$$

Это парабола, максимум которой достигается при

$$h=\frac{H}{2}.$$

Тогда

$$l_{\max}=2\sqrt{\frac{H}{2}\left(H-\frac{H}{2}\right)}=2\sqrt{\frac{H^2}{4}}=H.$$

Ответ: дальность полёта максимальна при $$h=\frac{H}{2}$$, и в этом случае $$l_{\max}=H$$.