Упр.19.15 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

1. Два небольших тела одинаковой массы, жёстко соединённые прямым стержнем, вращаются вокруг оси О, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню. Ось вращения неподвижна. Сделайте рисунок и докажите, что сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось Х, лежащую в плоскости вращения, равна нулю. Проверьте, будет ли справедливо это утверждение, если массы тел различны; ось вращения О пересекает стержень в другой точке.

Пусть ось вращения проходит через центр масс системы и перпендикулярна стержню. Тогда тела находятся по разные стороны от оси на одинаковых расстояниях, а их скорости при вращении направлены по касательным к окружностям.

Если массы тел одинаковы, то при одинаковых по модулю линейных скоростях модули импульсов равны:

$$p_1=p_2=p.$$

Выберем ось $$Ox$$ в плоскости вращения. Тогда векторы импульсов тел симметричны относительно оси вращения, и их проекции на ось $$Ox$$ равны по модулю и противоположны по знаку:

$$p_{1x}=p\cos\alpha,$$

$$p_{2x}=p\cos(180^\circ-\alpha)=-p\cos\alpha.$$

Следовательно,

$$p_{1x}+p_{2x}=p\cos\alpha-p\cos\alpha=0.$$

Значит, сумма проекций импульсов на любую ось $$Ox$$, лежащую в плоскости вращения, равна нулю.

Если массы тел различны, но ось вращения всё так же проходит через центр масс системы, то условие остаётся справедливым. Действительно, для центра масс выполняется

$$m_1r_1=m_2r_2,$$

а при вращении с одной и той же угловой скоростью

$$v_1=\omega r_1,\qquad v_2=\omega r_2.$$

Тогда

$$p_1=m_1v_1=m_1\omega r_1,\qquad p_2=m_2v_2=m_2\omega r_2,$$

и с учётом $$m_1r_1=m_2r_2$$ получаем $$p_1=p_2$$. Поэтому проекции импульсов на любую ось в плоскости вращения снова взаимно компенсируются.

Если же ось вращения пересекает стержень не в центре масс, то равенство проекций вообще говоря нарушается: расстояния до оси разные, скорости тел различны, и сумма проекций импульсов может быть не равна нулю.

Ответ: да; нет, если ось вращения не проходит через центр масс системы.