Упр.14.25 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

Задача

Лягушка совершает прыжок длиной $$2\ \text{м}$$ под углом $$45^\circ$$ к горизонтали. Определите: скорость, с которой приземляется лягушка; угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления; высоту прыжка; длительность прыжка.

Подробный ответ

Пусть горизонтальная дальность прыжка $$x=2\ \text{м}$$, угол бросания $$\alpha=45^\circ$$, ускорение свободного падения $$g=9{,}8\ \text{м/с}^2$$.

Ход решения

Для движения тела, брошенного под углом к горизонту, используем формулы:

$$x=v_0 t\cos\alpha,$$

$$y=v_0 t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}.$$

Так как лягушка приземляется на ту же высоту, с которой прыгнула, то при приземлении $$y=0$$. Тогда

$$t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.$$

Подставим это в формулу для дальности:

$$x=v_0\cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g}\cos\alpha=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.$$

При $$\alpha=45^\circ$$ имеем $$\sin 2\alpha=\sin 90^\circ=1$$, значит

$$x=\frac{v_0^2}{g}, \qquad v_0=\sqrt{xg}=\sqrt{2\cdot 9{,}8}\approx 4{,}4\ \text{м/с}.$$

Время полёта:

$$t=\frac{2v_0\sin 45^\circ}{g}=\frac{2\cdot 4{,}4\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{9{,}8}\approx 0{,}64\ \text{с}.$$

Максимальная высота прыжка:

$$h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\frac{4{,}4^2\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}{2\cdot 9{,}8}\approx 0{,}5\ \text{м}.$$

При приземлении вертикальная составляющая скорости по модулю равна начальной вертикальной составляющей, а горизонтальная не меняется. Поэтому модуль скорости при приземлении равен начальной скорости:

$$v=v_0\approx 4{,}4\ \text{м/с}.$$

Направление скорости при приземлении симметрично направлению бросания, значит угол с поверхностью земли равен $$45^\circ$$ вниз, то есть $$-45^\circ$$.