Упр.19.15 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

1. Два небольших тела одинаковой массы, жёстко соединённые прямым стержнем, вращаются вокруг оси $$О$$, проходящей через центр масс системы перпендикулярно стержню. Ось вращения неподвижна. Сделайте рисунок и докажите, что сумма проекций векторов импульсов тел на любую ось $$Х$$, лежащую в плоскости вращения, равна нулю. Проверьте, будет ли справедливо это утверждение, если массы тел различны; ось вращения $$О$$ пересекает стержень в другой точке.

Если массы тел одинаковы, то при вращении вокруг оси, проходящей через центр масс, их скорости по модулю одинаковы, а импульсы равны по модулю: $$p_1=p_2=p.$$

Пусть вектор $$\vec p_1$$ образует с осью $$Ox$$ угол $$\alpha$$. Тогда вектор $$\vec p_2$$ направлен симметрично ему и образует с осью $$Ox$$ угол $$180^\circ-\alpha$$. Проекции импульсов на ось $$Ox$$ равны:

$$p_{1x}=p\cos\alpha,$$

$$p_{2x}=p\cos(180^\circ-\alpha)=-p\cos\alpha.$$

Следовательно, сумма проекций равна

$$p_{1x}+p_{2x}=p\cos\alpha-p\cos\alpha=0.$$

Значит, для двух тел одинаковой массы утверждение верно.

Если массы тел различны, но ось вращения проходит через центр масс системы, то расстояния тел до оси обратно пропорциональны массам:

$$m_1r_1=m_2r_2.$$

При одинаковой угловой скорости $$\omega$$ линейные скорости равны

$$v_1=\omega r_1,\qquad v_2=\omega r_2,$$

а импульсы по модулю:

$$p_1=m_1\omega r_1,\qquad p_2=m_2\omega r_2.$$

Из условия центра масс получаем

$$m_1r_1=m_2r_2 \Rightarrow p_1=p_2.$$

Поэтому проекции импульсов на любую ось $$x$$ в плоскости вращения снова равны по модулю и противоположны по знаку, а их сумма равна нулю.

Если же ось вращения проходит не через центр масс, то в общем случае $$p_1 \ne p_2$$, и сумма проекций импульсов на произвольную ось $$x$$ уже не обязана быть равной нулю.

Ответ: да, если ось проходит через центр масс системы; нет, если ось проходит через другую точку.