Упр.14.26 ГДЗ Лукашик 7-9 класс по физике (Физика)

В разреженных слоях атмосферы траекторию полёта тела, брошенного под углом к горизонтали, можно считать параболой. Докажите, что при одинаковой начальной скорости $$v_0$$ дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных $$?$$ и $$?=90^\circ-?$$ (рис. II-55). Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах? Сопротивление среды не учитывайте.

Пусть тело брошено со скоростью $$v_0$$ под углом $$\alpha$$ к горизонту.

Уравнения движения по вертикали и горизонтали:

$$y=v_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}, \qquad x=v_0t\cos\alpha.$$

Время полёта найдём из условия возвращения тела на землю: $$y=0$$.

$$v_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}=0,$$

откуда

$$t=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.$$

Тогда дальность полёта

$$x=v_0t\cos\alpha=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}.$$

Для сопряжённого угла $$\beta=90^\circ-\alpha$$ получаем:

$$x’=\frac{v_0^2\sin2\beta}{g}=\frac{v_0^2\sin\bigl(2(90^\circ-\alpha)\bigr)}{g}=\frac{v_0^2\sin(180^\circ-2\alpha)}{g}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}.$$

Следовательно, дальности полёта при углах $$\alpha$$ и $$90^\circ-\alpha$$ одинаковы.

Максимальная высота полёта:

$$H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.$$

Для сопряжённого угла:

$$H’=\frac{v_0^2\sin^2(90^\circ-\alpha)}{2g}=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{2g}.$$

Тогда отношение максимальных высот

$$\frac{H}{H’}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tg^2\alpha.$$

Ответ: дальности полёта одинаковы; максимальные высоты относятся как $$\tg^2\alpha$$.