№951 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Рымкевич 10-11 класс, Дрофа: Емкость конденсатора колебательного контура 0,4 мкФ, частота собственных колебаний 50 кГц, амплитуда колебаний заряда 8 мкКл. Написать уравнения q = q(t), и = u(t), i = i(t). Найти амплитуду колебаний напряжения, амплитуду колебаний силы тока и индуктивность катушки.

Дано

$$C=0{,}4\ \text{мкФ}=4\cdot10^{-7}\ \text{Ф}$$
$$\nu=50\ \text{кГц}=5\cdot10^{4}\ \text{Гц}$$
$$q_m=8\ \text{мкКл}=8\cdot10^{-6}\ \text{Кл}$$

Ход решения

Циклическая частота колебаний:

$$\omega=2\pi\nu=2\pi\cdot5\cdot10^{4}=10^{5}\pi\ \text{рад/с}$$

Уравнение колебаний заряда:

$$q(t)=q_m\cos\omega t=8\cdot10^{-6}\cos(10^{5}\pi t)$$

Сила тока равна производной заряда по времени:

$$ i(t)=\frac{dq}{dt}=-q_m\omega\sin\omega t $$
$$ i(t)=-8\cdot10^{-6}\cdot10^{5}\pi\sin(10^{5}\pi t) =-0{,}8\pi\sin(10^{5}\pi t)\approx-2{,}5\sin(10^{5}\pi t) $$

Напряжение на конденсаторе:

$$ u(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{8\cdot10^{-6}}{4\cdot10^{-7}}\cos(10^{5}\pi t) =20\cos(10^{5}\pi t) $$

Амплитуда напряжения:

$$u_m=\frac{q_m}{C}=\frac{8\cdot10^{-6}}{4\cdot10^{-7}}=20\ \text{В}$$

Амплитуда силы тока:

$$i_m=q_m\omega=8\cdot10^{-6}\cdot10^{5}\pi\approx2{,}5\ \text{А}$$

Индуктивность катушки найдём из формулы Томсона:

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$
$$ L=\frac{1}{C\omega^2} =\frac{1}{4\cdot10^{-7}\cdot(10^{5}\pi)^2} \approx2{,}5\cdot10^{-5}\ \text{Гн} =25\ \text{мкГн} $$

Ответ

$$q(t)=8\cdot10^{-6}\cos(10^{5}\pi t)$$
$$i(t)=-2{,}5\sin(10^{5}\pi t)$$
$$u(t)=20\cos(10^{5}\pi t)$$
$$u_m=20\ \text{В},\quad i_m=2{,}5\ \text{А},\quad L=25\ \text{мкГн}$$