№730 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

1. Одинаковые шарики, подвешенные на закреплённых в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноимёнными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен $$\alpha=60^\circ$$. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до $$\beta=50^\circ$$. Найти диэлектрическую проницаемость среды $$\varepsilon$$. Выталкивающей силой пренебречь.

Для одного шарика в равновесии:

$$T\sin\frac{\alpha}{2}=F_k,\qquad T\cos\frac{\alpha}{2}=mg,$$

откуда

$$F_k=mg\tan\frac{\alpha}{2}.$$

Расстояние между шариками:

$$r=2l\sin\frac{\alpha}{2}.$$

Тогда сила кулоновского отталкивания в воздухе равна

$$F_1=\frac{kq^2}{r^2}=\frac{kq^2}{\left(2l\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2}.$$

В диэлектрике эта сила уменьшается в $$\varepsilon$$ раз:

$$F_2=\frac{kq^2}{\varepsilon\left(2l\sin\frac{\beta}{2}\right)^2}.$$

Так как для равновесия

$$mg=\frac{F_1}{\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{F_2}{\tan\frac{\beta}{2}},$$

то

$$\frac{kq^2}{\left(2l\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{kq^2}{\varepsilon\left(2l\sin\frac{\beta}{2}\right)^2\tan\frac{\beta}{2}}.$$

Сокращая одинаковые множители, получаем

$$\varepsilon=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\,\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\tan\frac{\beta}{2}\,\sin^2\frac{\beta}{2}}.$$

Подставим значения $$\alpha=60^\circ$$, $$\beta=50^\circ$$:

$$\varepsilon=\frac{\tan 30^\circ\cdot \sin^2 30^\circ}{\tan 25^\circ\cdot \sin^2 25^\circ} \approx \frac{0.577\cdot 0.25}{0.466\cdot 0.179}\approx 1.75.$$

Ответ: $$\varepsilon=1{,}75.$$