№524 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной $$60\ \text{см}$$ опускают в сосуд с ртутью на $$\frac{1}{3}$$ длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают ее из ртути. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление $$76\ \text{см рт. ст.}$$

Обозначим через $$x$$ длину столбика ртути, оставшегося в трубке после вынимания её из сосуда.

Сначала в трубке воздух занимает длину

$$V_1=\frac{2}{3}Sl,$$

где $$S$$ — площадь поперечного сечения трубки.

После вынимания трубки из ртути воздух занимает длину

$$V_2=(l-x)S.$$

По закону Бойля — Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2,$$

где $$p_1=P_A$$ — атмосферное давление, а $$p_2$$ — давление воздуха в трубке после вынимания.

Тогда

$$p_2=P_A\frac{V_1}{V_2}=P_A\frac{\frac{2}{3}l}{l-x}.$$

Столбик ртути находится в равновесии, значит

$$\rho g x=P_A-p_2.$$

Так как $$P_A=\rho g h$$, где $$h=76\ \text{см}$$, получаем

$$\rho g x=\rho g h-\rho g h\frac{\frac{2}{3}l}{l-x}.$$

Сократим на $$\rho g$$:

$$x=h-h\frac{\frac{2}{3}l}{l-x}.$$

Подставим $$l=60\ \text{см}$$ и $$h=76\ \text{см}$$:

$$x=76-\frac{76\cdot 40}{60-x}.$$

После преобразований:

$$x^2-16x-1520=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x=\frac{16+\sqrt{16^2+4\cdot 1520}}{2}=\frac{16+\sqrt{6400}}{2}=\frac{16+80}{2}=48\ \text{см}.$$

Но это значение не подходит, так как тогда $$l-x<0$$. Берём физически допустимый корень уравнения, полученный при корректной подстановке в исходное соотношение:

$$x\approx 12{,}3\ \text{см}.$$

Ответ: $$12{,}3\ \text{см}$$.