№49 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)
- Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $$v_1 = 10\ \text{м/с}$$, а вторую половину пути — со скоростью $$v_2 = 15\ \text{м/с}$$. Найти среднюю скорость на всём пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений $$v_1$$ и $$v_2$$.
Средняя скорость на всём пути:
$$v_{\text{ср}}=\frac{S}{t_1+t_2}$$
Так как автомобиль прошёл две равные половины пути, то
$$t_1=\frac{S/2}{v_1}=\frac{S}{2v_1}, \qquad t_2=\frac{S/2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}$$
Тогда
$$v_{\text{ср}}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$
Подставим значения:
$$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 10\cdot 15}{10+15} =\frac{300}{25}=12\ \text{м/с}$$
Докажем, что средняя скорость меньше среднего арифметического:
$$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\le \frac{v_1+v_2}{2}$$
Умножим на $$2(v_1+v_2)$$:
$$4v_1v_2\le (v_1+v_2)^2$$
$$0\le v_1^2-2v_1v_2+v_2^2=(v_1-v_2)^2$$
Это верно всегда, значит
$$v_{\text{ср}}\le \frac{v_1+v_2}{2}$$
При $$v_1\ne v_2$$ неравенство строгое, то есть $$v_{\text{ср}}<\frac{v_1+v_2}{2}$$.
Ответ: $$v_{\text{ср}}=12\ \text{м/с}$$, причём $$v_{\text{ср}}<\dfrac{v_1+v_2}{2}$$.
