№418 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

1. Первый шар колеблется на пружине, имеющей жесткость в 4 раза большую, чем жесткость пружины, на которой колеблется второй шар такой же массы. Какой из шаров надо дальше отвести от положения равновесия и во сколько раз, чтобы их максимальные скорости были одинаковы?

Максимальная скорость при колебаниях груза на пружине определяется из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_{\max}^2}{2}=\frac{kx_0^2}{2},$$

откуда

$$v_{\max}=x_0\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Для первого и второго шаров:

$$v_{1\max}=x_1\sqrt{\frac{k_1}{m}}, \qquad v_{2\max}=x_2\sqrt{\frac{k_2}{m}}.$$

По условию $$m_1=m_2$$ и $$k_1=4k_2$$, а максимальные скорости одинаковы:

$$x_1\sqrt{\frac{k_1}{m}}=x_2\sqrt{\frac{k_2}{m}}.$$

Сокращая на $$\sqrt{\frac{1}{m}}$$, получаем:

$$x_1\sqrt{k_1}=x_2\sqrt{k_2}.$$

Подставим $$k_1=4k_2$$:

$$x_1\sqrt{4k_2}=x_2\sqrt{k_2},$$

$$2x_1=x_2.$$

Значит, второй шар нужно отвести от положения равновесия в 2 раза дальше, чем первый.

Ответ

$$x_1:x_2=1:2.$$