№243 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Рымкевич 10-11 класс, Дрофа: Космический корабль имел начальный период обращения 88 мин. После проведения маневров период обращения стал равным 91 мин. Как изменились расстояние до поверхности Земли и скорость движения корабля? Обе орбиты круговые.

Дано

$$T_1=88\ \text{мин}$$

$$T_2=91\ \text{мин}$$

Ход решения

Для круговой орбиты скорость спутника связана с радиусом орбиты и периодом обращения формулой

$$v=\frac{2\pi r}{T}$$

А из условия равенства силы тяготения и центростремительной силы:

$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$$

откуда

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

Приравнивая выражения для скорости, получаем зависимость радиуса орбиты от периода:

$$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\frac{2\pi r}{T}$$

$$r=\sqrt[3]{GM\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2}$$

Следовательно,

$$\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2}=\sqrt[3]{\left(\frac{91}{88}\right)^2}\approx \sqrt[3]{1{,}07}\approx 1{,}02$$

Значит, радиус орбиты, а вместе с ним и расстояние до поверхности Земли, увеличилось примерно в $$1{,}02$$ раза, то есть на $$2\%$$.

Теперь найдём изменение скорости:

$$\frac{v_2}{v_1}=\frac{2\pi r_2/T_2}{2\pi r_1/T_1}=\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{T_1}{T_2}$$

$$\frac{v_2}{v_1}\approx 1{,}02\cdot\frac{88}{91}\approx 0{,}98$$

Следовательно, скорость уменьшилась примерно на $$2\%$$.

Ответ

Расстояние до поверхности Земли увеличилось примерно на $$2\%$$, скорость движения корабля уменьшилась примерно на $$2\%$$.