№730 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Задача

Одинаковые шарики, подвешенные на закреплённых в одной точке нитях равной длины, зарядили одинаковыми одноимёнными зарядами. Шарики оттолкнулись, и угол между нитями стал равен $$\alpha=60^\circ$$. После погружения шариков в жидкий диэлектрик угол между нитями уменьшился до $$\beta=50^\circ$$. Найти диэлектрическую проницаемость среды $$\varepsilon$$. Выталкивающей силой пренебречь.

Подробный ответ

Дано

$$\alpha=60^\circ$$

$$\beta=50^\circ$$

Найти: $$\varepsilon-?$$

Ход решения

При равновесии для каждого шарика отношение силы кулоновского отталкивания к силе тяжести равно тангенсу угла отклонения нити от вертикали:

$$\frac{F_k}{mg}=\tan\frac{\alpha}{2}$$

После погружения шариков в диэлектрик:

$$\frac{F_k’}{mg}=\tan\frac{\beta}{2}$$

Сила кулоновского взаимодействия в воздухе:

$$F_k=\frac{kq^2}{r_1^2}, \qquad r_1=2l\sin\frac{\alpha}{2}$$

В диэлектрике:

$$F_k’=\frac{kq^2}{\varepsilon r_2^2}, \qquad r_2=2l\sin\frac{\beta}{2}$$

Тогда

$$mg=\frac{F_k}{\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{F_k’}{\tan\frac{\beta}{2}}$$

Отсюда

$$\frac{kq^2}{\left(2l\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2\tan\frac{\alpha}{2}}=\frac{kq^2}{\varepsilon\left(2l\sin\frac{\beta}{2}\right)^2\tan\frac{\beta}{2}}$$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$$\varepsilon=\frac{\tan\frac{\alpha}{2}\,\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\tan\frac{\beta}{2}\,\sin^2\frac{\beta}{2}}$$

Подставим значения:

$$\varepsilon= \frac{\tan 30^\circ\cdot \sin^2 30^\circ}{\tan 25^\circ\cdot \sin^2 25^\circ}$$

$$\varepsilon\approx \frac{0.577\cdot 0.25}{0.466\cdot 0.178} \approx 1.75$$