№524 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)
Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной $$60$$ см опускают в сосуд с ртутью на $$\frac{1}{3}$$ длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают ее из ртути. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление $$76$$ см рт. ст.
Обозначим длину столбика ртути, оставшегося в трубке, через $$x$$.
Сначала в трубке воздух занимает объём
$$V_1=\frac{2}{3}Sl,$$
где $$S$$ — площадь поперечного сечения трубки, $$l=60\ \text{см}$$.
После вынимания трубки из ртути объём воздуха станет
$$V_2=(l-x)S.$$
По закону Бойля — Мариотта при постоянной температуре:
$$p_1V_1=p_2V_2.$$
До закрытия трубки давление воздуха равно атмосферному:
$$p_1=p_A.$$
После вынимания трубки давление воздуха в ней меньше атмосферного на величину, уравновешивающую столбик ртути:
$$p_A-p_2=\rho g x.$$
Так как $$p_A=\rho gh$$, где $$h=76\ \text{см}$$, то
$$p_2=p_A-\rho gx=\rho g(h-x).$$
Подставим в уравнение Бойля — Мариотта:
$$p_A\cdot \frac{2}{3}Sl=\rho g(h-x)(l-x)S.$$
Сокращая на $$S$$ и используя $$p_A=\rho gh$$, получаем:
$$h\cdot \frac{2}{3}l=(h-x)(l-x).$$
Подставим $$l=60\ \text{см}$$, $$h=76\ \text{см}$$:
$$76\cdot \frac{2}{3}\cdot 60=(76-x)(60-x).$$
$$3040=(76-x)(60-x)$$
$$3040=4560-136x+x^2$$
$$x^2-136x+1520=0.$$
Решая квадратное уравнение, получаем физически подходящий корень:
$$x\approx 12{,}3\ \text{см}.$$
Ответ: $$12{,}3\ \text{см}$$.
