№523 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Закрытый цилиндрический сосуд высотой $$h$$ разделён на две равные части невесомым поршнем, скользящим без трения. При застопоренном поршне обе половины заполнены газом, причём в одной из них давление в $$n$$ раз больше, чем в другой. На сколько передвинется поршень, если снять стопор?

Пусть площадь сечения цилиндра равна $$S$$, а после снятия стопора поршень сместится на $$\Delta h$$.

Тогда начальные объёмы половин сосуда равны:

$$V_0=\frac{Sh}{2}$$

После смещения поршня объёмы станут:

$$V_1=S\left(\frac{h}{2}+\Delta h\right), \qquad V_2=S\left(\frac{h}{2}-\Delta h\right)$$

Так как процесс изотермический, для каждого газа выполняется закон Бойля — Мариотта:

$$p_1V_1=p_1V_0,\qquad p_2V_2=p_2V_0$$

Следовательно, при равновесии:

$$p_1\left(\frac{h}{2}+\Delta h\right)=p_2\left(\frac{h}{2}-\Delta h\right)$$

По условию $$p_1=np_2$$, значит

$$n\left(\frac{h}{2}+\Delta h\right)=\frac{h}{2}-\Delta h$$

Решим уравнение относительно $$\Delta h$$:

$$\begin{aligned} \frac{nh}{2}+n\Delta h&=\frac{h}{2}-\Delta h,\\ \Delta h(n+1)&=\frac{h}{2}(1-n),\\ \Delta h&=\frac{h(n-1)}{2(n+1)}. \end{aligned}$$

Ответ: $$\Delta h=\frac{h(n-1)}{2(n+1)}$$.