№523 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Рымкевич 10-11 класс, Дрофа: акрытый цилиндрический сосуд высотой h разделен на две равные части невесомым поршнем, скользящим без трения. При застопоренном поршне обе половины заполнены газом, причем в одной из них давление в n раз больше, чем в другой. На сколько передвинется поршень, если снять стопор?

Дано

$$h$$ — высота сосуда

$$p_1=np_2$$

Поршень невесомый, трение отсутствует.

Ход решения

Пусть площадь сечения поршня равна $$S$$. Тогда первоначально объём каждой половины сосуда:

$$V_0=\frac{Sh}{2}$$

После снятия стопора поршень сместится на $$\Delta h$$ в сторону меньшего давления. Тогда объёмы станут:

$$V_1=S\left(\frac{h}{2}+\Delta h\right), \qquad V_2=S\left(\frac{h}{2}-\Delta h\right)$$

Так как процесс изотермический, для каждой половины выполняется закон Бойля — Мариотта:

$$p_1V_0=p_1’V_1, \qquad p_2V_0=p_2’V_2$$

В равновесии давления по обе стороны поршня одинаковы, значит можно записать отношение начальных давлений через новые объёмы:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_1}{V_2}$$

Подставим выражения для объёмов:

$$n=\frac{\frac{h}{2}+\Delta h}{\frac{h}{2}-\Delta h}$$

Решим уравнение относительно $$\Delta h$$:

$$n\left(\frac{h}{2}-\Delta h\right)=\frac{h}{2}+\Delta h$$

$$\frac{nh}{2}-n\Delta h=\frac{h}{2}+\Delta h$$

$$\Delta h\,(n+1)=\frac{h}{2}(n-1)$$

$$\Delta h=\frac{h(n-1)}{2(n+1)}$$

Ответ

$$\Delta h=\frac{h(n-1)}{2(n+1)}$$