№49 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Рымкевич 10-11 класс, Дрофа: Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью v1 = 10 м/с, а вторую половину пути со скоростью v2 = 15 м/с. Найти среднюю скорость на всем пути. Доказать, что средняя скорость меньше среднего арифметического значений v1 и v2.

Дано

$$v_1=10\ \text{м/с}$$
$$v_2=15\ \text{м/с}$$

Ход решения

Пусть весь путь равен $$S$$. Тогда каждая половина пути равна $$\frac{S}{2}$$.

Время прохождения первой половины:

$$t_1=\frac{S/2}{v_1}=\frac{S}{2v_1}$$

Время прохождения второй половины:

$$t_2=\frac{S/2}{v_2}=\frac{S}{2v_2}$$

Средняя скорость на всём пути:

$$v_{\text{ср}}=\frac{S}{t_1+t_2}=\frac{S}{\frac{S}{2v_1}+\frac{S}{2v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$

Подставим значения:

$$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 10\cdot 15}{10+15}=\frac{300}{25}=12\ \text{м/с}$$

Докажем, что $$v_{\text{ср}}<\frac{v_1+v_2}{2}$$:

$$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}<\frac{v_1+v_2}{2}$$

Умножим на $$2(v_1+v_2)$$:

$$4v_1v_2<(v_1+v_2)^2$$

$$4v_1v_2

$$0<(v_1-v_2)^2$$

Это верно при $$v_1\ne v_2$$, значит средняя скорость меньше среднего арифметического скоростей.

Ответ

$$v_{\text{ср}}=12\ \text{м/с},\qquad v_{\text{ср}}<\frac{v_1+v_2}{2}$$