№26 ГДЗ Рымкевич 10-11 класс (Физика)
- Автомобиль и велосипедист движутся навстречу друг другу со скоростями соответственно $$20\ \text{м/с}$$ и $$5\ \text{м/с}$$. Расстояние между ними в начальный момент времени равно $$250\ \text{м}$$. Написать уравнения движения тел и построить графики зависимости $$x=x(t)$$. Систему отсчёта связать с землёй. Считать, что положение автомобиля при $$t=0$$ совпадает с началом отсчёта, а ось $$X$$ направлена в ту же сторону, что и скорость движения автомобиля. Графически и аналитически определить:
а) место и время их встречи;
б) кто из них раньше пройдёт сотый метр и на сколько раньше;
в) расстояние между ними через $$5\ \text{с}$$;
г) где находился автомобиль в тот момент, когда велосипедист проходил точку с координатой $$225\ \text{м}$$;
д) когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через $$7{,}5\ \text{с}$$ после начала движения;
е) в какие моменты времени расстояние между ними было $$125\ \text{м}$$;
ж) какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на $$12{,}5\ \text{с}$$.
Уравнения равномерного прямолинейного движения:
$$x=x_0+vt$$
Выберем начало отсчёта в точке, где в момент $$t=0$$ находится автомобиль. Тогда
$$x_{0a}=0,\qquad x_{0b}=250\ \text{м}$$
Скорость автомобиля направлена вдоль положительного направления оси $$x$$, а велосипедист движется навстречу, значит
$$v_a=20\ \text{м/с},\qquad v_b=-5\ \text{м/с}$$
Тогда уравнения движения:
$$x_a=20t$$
$$x_b=250-5t$$
Графики этих зависимостей — две прямые: для автомобиля возрастающая, для велосипедиста убывающая.
Ход решения
а) Место и время встречи
В момент встречи координаты тел равны:
$$20t=250-5t$$
$$25t=250$$
$$t=10\ \text{с}$$
Координата места встречи:
$$x=20\cdot 10=200\ \text{м}$$
б) Кто раньше пройдёт точку с координатой 100 м
Для автомобиля:
$$t_a=\frac{100-0}{20}=5\ \text{с}$$
Для велосипедиста:
$$t_b=\frac{100-250}{-5}=30\ \text{с}$$
Автомобиль пройдёт эту точку раньше на
$$\Delta t=30-5=25\ \text{с}$$
в) Расстояние между ними через 5 с
$$x_a=20\cdot 5=100\ \text{м}$$
$$x_b=250-5\cdot 5=225\ \text{м}$$
$$s=225-100=125\ \text{м}$$
г) Где находился автомобиль, когда велосипедист проходил точку с координатой 225 м
Найдём время для велосипедиста:
$$t=\frac{225-250}{-5}=5\ \text{с}$$
Тогда координата автомобиля в этот момент:
$$x_a=20\cdot 5=100\ \text{м}$$
д) Когда велосипедист проходил точку, в которой автомобиль был через 7,5 с
Координата автомобиля через $$7{,}5\ \text{с}$$:
$$x_a=20\cdot 7{,}5=150\ \text{м}$$
Найдём время, когда велосипедист был в точке $$150\ \text{м}$$:
$$t=\frac{150-250}{-5}=20\ \text{с}$$
е) В какие моменты расстояние между ними было 125 м
Составим уравнение:
$$|x_a-x_b|=125$$
$$|20t-(250-5t)|=125$$
Отсюда:
$$20t-250+5t=125$$
$$25t=375$$
$$t=15\ \text{с}$$
или
$$250-5t-20t=125$$
$$25t=125$$
$$t=5\ \text{с}$$
ж) Какую точку автомобиль прошёл раньше велосипедиста на 12,5 с
Пусть велосипедист проходит эту точку через $$t$$ секунд, тогда автомобиль — через $$t-12{,}5$$ секунд. Координаты точки одинаковы:
$$250-5t=20(t-12{,}5)$$
$$250-5t=20t-250$$
$$25t=500$$
$$t=20\ \text{с}$$
Координата точки:
$$x=250-5\cdot 20=150\ \text{м}$$
Ответ
а) $$t=10\ \text{с}$$, $$x=200\ \text{м}$$; б) автомобиль на $$25\ \text{с}$$ раньше; в) $$125\ \text{м}$$; г) $$100\ \text{м}$$; д) $$20\ \text{с}$$; е) $$5\ \text{с}$$ и $$15\ \text{с}$$; ж) $$150\ \text{м}$$.
