Задание ЕГЭ 5 Параграф 32 ГДЗ Мякишев 10 класс (Физика)

1. С5. С какой скоростью движутся частицы, входящие в наиболее плотное кольцо Сатурна, если известно, что период их обращения примерно совпадает с периодом вращения Сатурна вокруг своей оси и составляет $$10\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}$$? Масса Сатурна равна $$5{,}7 \cdot 10^{26}\ \text{кг}$$.

Для движения частиц по окружности сила тяготения даёт центростремительное ускорение:

$$\frac{GMm}{R^2}=\frac{mv^2}{R}$$

Отсюда

$$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$

Период обращения связан со скоростью формулой

$$T=\frac{2\pi R}{v}$$

Выразим радиус:

$$R=\frac{Tv}{2\pi}$$

Подставим это в формулу для скорости:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{Tv/(2\pi)}}$$

После преобразования получаем

$$v^3=\frac{2\pi GM}{T}$$

$$v=\sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{T}}$$

Переведём период в СИ:

$$T=10\ \text{ч}\ 40\ \text{мин}=10\cdot 3600+40\cdot 60=38400\ \text{с}$$

Подставим значения:

$$v=\sqrt[3]{\frac{2\pi\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}7\cdot 10^{26}}{38400}}$$

$$v\approx 1{,}84\cdot 10^4\ \text{м/с}$$

Ответ: $$18{,}4\ \text{км/с}$$