Задание ЕГЭ 4 Параграф 32 ГДЗ Мякишев 10 класс (Физика)

1. C4. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности планеты Земля, а радиус этой планеты в $$2$$ раза больше радиуса Земли. Определите отношение первой космической скорости на этой планете к первой космической скорости на Земле $$v_{\text{п}}/v_{\text{з}}$$.

Первая космическая скорость у поверхности планеты определяется формулой

$$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$$

Массу планеты выразим через её плотность:

$$M=\rho V=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$$

Подставим это в формулу скорости:

$$v=\sqrt{\frac{G\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} =\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho R^2} =R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G\rho}$$

При одинаковой средней плотности скорость первой космической орбиты пропорциональна радиусу планеты:

$$v \propto R$$

Тогда отношение скоростей равно отношению радиусов:

$$\frac{v_{\text{п}}}{v_{\text{з}}}=\frac{R_{\text{п}}}{R_{\text{з}}}=2$$

Ответ

$$2$$