Задание 4 Параграф 29 ГДЗ Мякишев 10 класс (Физика)

1. Планета имеет радиус, в 2 раза меньший радиуса Земли. Известно, что ускорение свободного падения на поверхности этой планеты такое же, как на Земле. Чему равно отношение массы этой планеты к массе Земли?

$$R_{\text{п}}=\frac{1}{2}R_{\text{з}}$$
$$g_{\text{п}}=g_{\text{з}}$$

Найти: $$\frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{з}}}$$

Используем закон всемирного тяготения и связь силы тяжести с ускорением свободного падения:

$$F=G\frac{Mm}{R^2}=mg$$

Отсюда

$$g=G\frac{M}{R^2}$$

Тогда масса планеты выражается так:

$$M=\frac{gR^2}{G}$$

Найдём отношение масс планеты и Земли:

$$\frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{з}}} = \frac{g_{\text{п}}R_{\text{п}}^2/G}{g_{\text{з}}R_{\text{з}}^2/G} = \frac{g_{\text{п}}}{g_{\text{з}}}\cdot\frac{R_{\text{п}}^2}{R_{\text{з}}^2}$$

Так как $$g_{\text{п}}=g_{\text{з}}$$, то

$$\frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{з}}} = \left(\frac{R_{\text{п}}}{R_{\text{з}}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ответ

$$\frac{M_{\text{п}}}{M_{\text{з}}}=\frac{1}{4}$$